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三角函數

三角函數能引起人興趣嗎?

除了因為工作需要的人

考試需要的學生

和老師外

大概是很少社會人士

還會想去探討三角函數

更別說為它著迷

問過很多曾經學過的大人們

從早期

三角函數是屬於國中的數學

(而且還不是只有六個)

到現在

則被安排在高中的課程中

(而且還不用學完六個)

通常只記得要背很多公式

但大多早已忘了它是什麼

因為

大部分人的學習方式

都是先從直角三角形的邊比關係去談

再加上公式都是經過精簡過呈現出最簡單式子

當然不容易理解

因為無法感受出它的關係

最後只好發明些口訣或手勢來幫助記憶

然而過些時日就忘了

更別談應用了

但若追根究底去探討三角函數的發展過程

可能會較清楚

依經驗告訴我

任何事情

了解它的發展過程

才能引發興趣

早期的三角函數並不是

一開始就

發展到現在所學的三角函數

以前它也叫做圓函數

它跟圓與直線有極大的關係

它是在探討

角與

圓上兩點的連線(弦)

圓的切線

圓的割線

它們之間的關係

早期的研究

並不是一開始就用直角三角形來探討的

而是用等腰三角形(並非要是直角三角形)

初入門者可以先從這裡下手

是較容易理解的

每當我們剛要接觸新的概念時

我們都可以先來個

說文解字

或許就有了思考方向了

因為在函數的名詞中

正弦  正切  正割

餘弦  餘切  餘割

早已告訴我們

函數應是與圓和直線有關

它們是以 單位圓 (半徑為1) 為基礎

加上

餘角和互餘的關係

來探討的

才會以

正弦  正切  正割

餘弦  餘切  餘割

的名稱來形容

若以英文的名詞

也有類似的意涵

餘(    )函數

都是以 co- 為字首

說明了它們也有相互關係的意思

在這則是

互為餘角關係

不論

從中文字義

或是

英文字義

就能瞭解到

三角函數所代表的意義

這不就是

有意義的學習了

概念有了

自然就通了

當然不會

只以記憶的方式

混亂了函數名詞

也不會是

死記整理過的最精簡公式

卻

沒了感覺

(沒感覺的學習就是盲目學習)

如下圖

(本圖以 GeoGebra  的數學繪圖軟體所繪製)

將 (正)角和餘角分開觀察

將直角三角形的三邊看做單位圓 (半徑為1) 中的弦長切線長割線長

最後再整合出

三個相似三角形

直角三角形 A B C

直角三角形 A'B'C

直角三角形 A''B''C

再去做它們之間的邊比關係

再以

直角三角形的兩股平方和等於斜邊的平方

y²＋x²＝r²

直角三角形 A B C

sin²θ＋cos²θ ＝1²
 

直角三角形 A'B'C

1²+ tan²θ＝sec²θ
 

直角三角形 A''B''C

1 ²+cot²θ＝csc²θ

這樣是容易理解的

但若經過整理成

sin²θ＋cos²θ＝1²

sec²θ -tan²θ＝1²

csc²θ -cot²θ＝1²

再整理成為這公式

sin²θ＋cos²θ＝1

sec²θ -tan²θ＝1

csc²θ -cot²θ＝1

表面上式子是簡化單純

但卻不容易理解

就用背的

很多三角函數的基本公式

若能從源頭的基本關係

認識三角函數

就容易多了 

如再能有透過操作來思考的教具該有多好 

待續篇(三角函數教具)

公式自己導是快樂的來源

試試看吧!