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 學習過程中

常會碰到一些

定義或公式

尤其是數學

如果在公式上

看不出其意義

就只好死記

 譬如:

三角函數的基本公式

如果是這樣寫的

 sin²θ＋cos²θ ＝1
sec²θ - tan²θ ＝1
csc²θ- cot²θ ＝1

sinθcscθ＝1

cosθsecθ＝1

tanθcotθ＝1

表面上看起來很簡潔

但

並不容易發現

它們和 1 有何關係

就只好死記

這也就是

沒有意義的學習

 ( 找不到關聯的學習 )

但

如果將前三個式子 = 1

改寫成 = 1² 

則比較有意義

( 雖然 1² ＝ 1 )

 因為

它是用

商高定理

(又稱: 畢氏定理)

(又稱: 勾股定理)

 在平面上的一個

直角三角形中

 直角兩個邊邊長的平方加起來

等於

斜邊長的平方

如果設

直角三角形的

兩條直角邊長度

分別是 x 和 y

斜邊長度是 r

那麼可以用

數學語言表達

 y²＋x²＝r²

下圖

△DAI ～ △FAE

△ADC ～ △AHB ～ △AFG

 這和

下圖三角函數的定義

下列基本公式

是一致的

先將

餘弦 (cosθ) 和 餘切 (cotθ)

搬到X軸線上

因為

餘弦 (cosθ) = ID  線段長= AC 線段長

餘切 (cotθ) = EF線段長= AG線段長

在單位圓 (半徑=1) 裡

θ角對應的正弦函數值的平方 (sin²θ)

與

θ的餘角(90-θ)對應的餘弦函數值的平方 (cos²θ)

之和等於

單位元半徑 (1) 之平方 (1² )

  sin²θ＋cos²θ＝ 1²
 tan²θ＋1² ＝ sec²θ
1²＋cot²θ＝ csc²θ

這樣也才有意義

 因為它們之間是有關係的

有關係 (好理解) 則沒關係

沒關係 (難理解) 要找關係

公式的呈現不是只求簡潔

而是要呈現出關係

接下來再整理成這樣

 sin²θ＋cos²θ ＝1
sec²θ - tan²θ ＝1
csc²θ- cot²θ ＝1

 欲深入理解請點進

三角函數的意義 

學習過程中

如能是

有意義的學習

 必定會有感覺

這樣才能事半功倍

真正的學習

學習效果最好